Formelsammlung Elektrotechnik

Elektrotechnik Formelsammlung

INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Gleichstromkreise 1 1.1 Spannung, Strom, Widerstand, Energie, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Spannungs- / Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Leistungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Serie- / Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Temperaturabh¨angigkeit von Widerst¨anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Spezifischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.7 Stern-Dreick-Umwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8 Br ¨uckenschaltung mit Stern-Dreieck-Umwandlung . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8.1 Br ¨uckenschaltung mit Zweipolverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 ¨Uberlagerungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.10 Knotenpotentialverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.10.1 Rezept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.10.2 Ideale Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Elektrische Felder 13 2.1 Elektrisches Str¨omungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Elektrostatisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Elektromagnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Die Beschreibung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . 20 2.3.3 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.4 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.5 Kr¨afte im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Schaltvorg¨ange 27 3.1 RC - Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 RL-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Seite ii Elektrotechnik Formelsammlung

INHALTSVERZEICHNIS 4 Nichtlineare Kennlinien 32 4.1 Vorgehensweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.1 Beispiel: Ladung eines Akkus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5 Wechselstrom 34 5.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2 Spezialf¨alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3 Komplexe Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.4 Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.5 Komplexer Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.6 Komplexe Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.7 Wechselstromleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6 Filter, ¨Ubertragungsfunktion und Bodediagramm 40 6.1 Bodediagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2 RC - Tiefpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3 RC - Hochpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4 RLC - Tiefpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.5 RLC - Hochpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.5.1 Doppel-T-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.6 Umwandlung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.6.1 Berechnung der ¨Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7 Operationsverst¨arker 47 7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8 Messtechnik 49 8.1 Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.1.1 Zuf¨allig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.1.2 Berechnen der Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.1.3 Systematisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Elektrotechnik Formelsammlung Seite iii

1 GLEICHSTROMKREISE 1 Gleichstromkreise 1.1 Spannung, Strom, Widerstand, Energie, Leistung Zeichen Beschreibung Einheit I Strom (bewegliche Ladung) A U Spannung J As = Nm As = V R Widerstand V/A = Ω r Widerstand (differentiell) V/A = Ω G Leitwert 1/Ω = S Q Ladungsmenge As = C t Zeit s W El. Arbeit (Energie) VAs = Ws = J P El. Leistung W Strom: I = U R = UG Ladung: Q = It Differentieller Widerstand: r = ∆ U ∆ I Arbeit: W = UQ = UIt = Pt Leistung:P = UI = I 2 R = U 2 R = W t F ¨ur Quellen gilt: Leistung P ist am gr¨ossten, wenn der Innenwiderstand gleich dem Lastwi- derstand ist: R i = R L . Elektrotechnik Formelsammlung Seite 1

1 GLEICHSTROMKREISE 1.2 Spannungs- / Stromquellen S.14 Ideale Spannungsquelle: U konstantReale Spannungsquelle: U sinkt bei Belastung (mit zunehmenden Strom)Ideale Stromquelle: I konstantReale Stromquelle: I sinkt mit zunehmender SpannungUmwandlung: siehe Abb. 1 U U q I R i U I q G i I U I I q U q Abbildung 1: Quellenumwandlung Spannungsquelle (Abb. 1 links): R i = ∆ U ∆ I = U q I q U q = I q G i Stromquelle: (Abb. 1 rechts): G i = ∆ I ∆ U = I q U q I q = U q R i Seite 2 Elektrotechnik Formelsammlung

1 GLEICHSTROMKREISE 1.3 Leistungsanpassung Leistungsanpassung eines Lastwiderstands an den Innenwiderstand des Spannungserzeu- gers erm¨oglicht die gr¨osstm¨ogliche Leistungsentnahme. Die Leistungsabgabe eines Spannungserzeugers ist am gr¨ossten, wenn der Lastwiderstandgleich dem Innenwiderstand ist. R L = R i P max = U 2 0 4 · R i R i = U 1 − U 2 I 2 − I 1 R i = ∆ U ∆ I 1.3.1 Beispiel Ein Spannungserzeuger hat eine Leerlaufspannung von U 0 = 10V und einen Innenwider- stand R i = 100Ω. Berechnen Sie die Abgabeleistung bei Leistungsanpassung!L¨osung: R L = R i = 100Ω P max = U 2 0 4 · R i = (10V) 2 4 · 100Ω = 0.25W Elektrotechnik Formelsammlung Seite 3

1 GLEICHSTROMKREISE 1.4 Serie- / Parallelschaltung SerieI ¨uberall gleichU teilt sich auf U = U 1 + U 2 + U 3 I = U R 1 + R 2 + R 3 R tot = R 1 + R 2 + R 3 Spannungsteilerregel U 1 U = IR 1 I(R 1 + R 2 + R 3 ) = R 1 R tot U 1 U 2 = IR 1 IR 2 = R 1 R 2 ParallelU ¨uberall gleichI teilt sich auf I = I 1 + I 2 + I 3 U = I G 1 + G 2 + G 3 G tot = G 1 + G 2 + G 3 Stromteilerregel I 1 I = UG 1 U(G 1 + G 2 + G 3 ) = G 1 G tot I 1 I 2 = UG 1 UG 2 = G 1 G 2 Seite 4 Elektrotechnik Formelsammlung

1 GLEICHSTROMKREISE 1.5 Temperaturabh¨angigkeit von Widerst¨anden S.3 Zeichen Beschreibung Einheit ∆ R Widerstands¨anderung Ω R 1 Widerstand bei Anfangstemp. Ω α Temp. Beiwert f ¨ur Anfangstemperatur 1 K ∆ ϑ Temp. ¨Anderung K PTC: pos. temp. coefficient (Widerstand steigt wenn Temp. steigt)NTC: neg. temp. coefficient (Widerstand sinkt wenn Temp. steigt) ∆ R = R 1 α∆ϑ 1.6 Spezifischer Widerstand S.58 Zeichen Beschreibung Einheit R Widerstand des Leiters Ω ρ Spezifischer Widerstand Ω m l L¨ange des Leiters m A Querschnitt des Leiters m 2 R = ρ · l A Elektrotechnik Formelsammlung Seite 5

1 GLEICHSTROMKREISE 1.7 Stern-Dreick-Umwandlung S.18 1 2 3 R 1 R 3 R 2 1 2 3 R 1 2 R 3 1 R 2 3 Abbildung 2: Stern-Dreieck-Umwandlung Zeichen Beschreibung Einheit R 1 , R 2 , R 3 Widerst¨ande in Sternschaltung Ω R 12 , R 23 , R 31 Widerst¨ande in Dreieckschaltung Ω Stern-Dreieck-Umwandlung R 23 = R 2 + R 3 + R 2 R 3 R 1 R 31 = R 1 + R 3 + R 1 R 3 R 2 R 12 = R 1 + R 2 + R 1 R 2 R 3 Dreieck-Stern-Umwandlung R 1 = R 31 R 12 R 12 + R 23 + R 31 R 2 = R 23 R 12 R 12 + R 23 + R 31 R 3 = R 23 R 31 R 12 + R 23 + R 31 Seite 6 Elektrotechnik Formelsammlung

1 GLEICHSTROMKREISE 1.8 Br ¨uckenschaltung mit Stern-Dreieck-Umwandlung ges.: I m U q R 1 R 2 R 3 R 4 R m I m Abbildung 3: Br ¨uckenschaltung 1. Stern-Dreick-Umwandlung (siehe 1.7): U q R 1 R 2 R 3 R 4 R m 1 2 3 U q R 12 R 2 R 4 1 2 3 R 23 R 13 2. Gesamtwiderstand berechnen3. Gesamtstrom berechnen4. Mit Stromteilerregel I m berechnen Elektrotechnik Formelsammlung Seite 7

1 GLEICHSTROMKREISE 1.8.1 Br ¨uckenschaltung mit Zweipolverfahren S.34 ges.: I m U q R 1 R 2 R 3 R 4 R m I m Abbildung 4: Br ¨uckenschaltung 1. Mitte herausschneiden (Schaltung wird von hier aus als Zweipol betrachtet).2. Spannung U m mit Hilfe der Teilspannungen U 1 und U 2 berechnen (U m = U 2 − U 1 ). U m entspricht der Leerlaufspannung des Zweipols. U q R 1 R 2 R 3 R 4 U 1 U 2 U m 3. Spannungsquellen kurzschliessen und Stromquellen herausschneiden: U q = 0 setzen. Gesamtwiderstand der Schaltung vom Zweipol aus gesehen berechnen. Dieser entsprichtdem Innenwiderstand R i des Zweipols. R 1 R 2 R 3 R 4 R 1 R 2 R 3 R 4 4. Stromfluss des Zweipols berechnen (I m = U m R i + R m ) U m R i R m I m Seite 8 Elektrotechnik Formelsammlung

1 GLEICHSTROMKREISE 1.9 ¨Uberlagerungssatz S.31 Bemerkung: Funktioniert nur mit linearen oder linearisierten Systemen (keine Dioden, usw.). 1. Einfluss jeder Quelle separat berechnen 2. Resultat berechnen (Summe der Einfl ¨usse) Damit der Einfluss einer einzelnen Quelle berechnet werden kann, m ¨ussen alle anderenQuellen auf Null gesetzt werden:Spannungsquellen kurzschliessen: U q R i 0V R i R i Stromquellen herausschneiden: I q G i 0A G i G i Elektrotechnik Formelsammlung Seite 9

1 GLEICHSTROMKREISE 1.10 Knotenpotentialverfahren S.33 1.10.1 Rezept 1. Lineares Ersatzschaltbild aufzeichnen und Werte der Elemente berechnen. 2. Lineare Spannungsquellen in lineare Stromquellen umwandeln und Widerst¨ande in Leitwerte. (a) Ideale Spannungsquellen k¨onnen nicht umgeformt werden. Der Bezugsknoten muss so gew¨ahlt werden, dass ein Anschluss der idealen Spannungsquelle amBezugsknoten liegt. (b) Gesteuerte lineare Spannungsquellen werden in gesteuerte lineare Stromquellen umgewandelt. 3. Bezugsknoten w¨ahlen ( ¨ublicherweise Schaltungsmasse) und mit 0 bezeichnen. 4. Knoten durchnummerieren und alle Knotenspannungen eintragen mit Pfeilrichtung zum Bezugsknoten hin. 5. Matrix [G] aufstellen. (a) Die Hauptdiagonale enth¨alt die Knotenleitwerte. Ein Knotenleitwert ist die Sum- me der am betreffenden Knoten angeschlossenen Leitwerte. Das Vorzeichen istimmer positiv. (b) Die anderen Elemente enthalten die Kopplungsleitwerte. Ein Kopplungsleitwert ist der Leitwert zwischen den zwei betreffenden Knoten. Das Vorzeichen ist immernegativ. (c) Kontrolle: Die Matrix muss symmetrisch sein. 6. Vektor [I] aufstellen (a) Ein Element ist die vorzeichenrichtige Summe aller an diesem Knoten angeschlos- senen Stromquellen. Stromquellen, deren Pfeil auf den Knoten hin zeigen werdenpositiv gez¨ahlt, Stromquellen, deren Pfeil vom Knoten weg zeigen negativ. (b) Kontrolle: Alle Stromquellen kommen im Stromvektor zwei Mal vor, ausser jene, die einen Anschluss am Bezugsknoten haben. 7. Spezialf¨alle (a) Ideale Spannungsquellen. Die Knotenspannung bei der idealen Spannungsquelle ist bekannt. Deshalb muss dieser bekannte Term aus dem Spannungsvektor aufdie andere Seite des Gleichungssystems verschoben werden. Die Zeile mit deridealen Spannungsquelle kann gestrichen werden, weil sie nur redundante In-formationen enth¨alt. Der Grad des Gleichungssystems verringert sich pro idealeSpannungsquelle um 1 und die Matrix wird wieder symmetrisch (Kontrolle). (b) Gesteuerte Quellen. Die unbekannten Terme im Stromvektor m ¨ussen auf die an- dere Seite des Gleichungssystems verschoben werden. Der Grad des Gleichungs-systems bleibt erhalten und die Leitwertmatrix wird unsymmetrisch. Seite 10 Elektrotechnik Formelsammlung

1 GLEICHSTROMKREISE 8. Zahlenwerte einsetzen und Gleichungssystem mit Rechner aufl¨osen ergibt den Span- nungsvektor mit den Knotenspannungen 9. Aus den Knotenspannungen lassen sich bei Bedarf die Zweigspannungen berechnen und daraus die Zweigstr¨ome. 1.10.2 Ideale Spannungsquellen Ideale Spannungsquellen lassen sich nicht in lineare Stromquellen umwandeln (mathema-tisch gesehen erg¨abe sich eine Division durch 0). Eine ideale Spannungsquelle bedeutet,dass die Spannung, unabh¨angig vom Strom, konstant ist. Das heisst, dass eine Zweig- resp.Knotenspannung bereits bekannt ist und gar nicht berechnet werden muss.Im Spannungsvektor [U] d ¨urfen nur unbekannte (zu berechnende) Werte vorkommen. Die Terme der idealen Spannungsquellen m ¨ussen also eliminiert werden, was zu einer Verklei-nerung der Matrix f ¨uhrt.Bezugsknoten w¨ahlen und alle Knoten nummerierenDer Bezugsknoten muss an einem Anschluss der idealen Spannungsquelle gew¨ahlt wer-den. Sind mehrere ideale Spannungsquellen vorhanden muss der gemeinsame Anschlussaller Spannungsquellen als Bezugsknoten genommen werden (das ist meistens sowieso derSchaltungs-Nullpunkt). Gibt es keinen gemeinsamen Anschluss f ¨ur mehrere ideale Span-nungsquellen, kann das hier beschriebene Verfahren nicht angewendet werden.Ausweg1: Maschenstrom-Verfahren anwenden. Das funktioniert immer.Ausweg2: Zu den idealen Spannungsquellen (gedanklich) kleine Widerst¨ande in Serie schal-ten, die (nun linearen, nicht idealen) Spannungsquellen in lineare Stromquellen umwandelnund ganz normal weiterfahren. Problematisch sind die hierbei entstehenden Rundungsfehler.Also mit verschiedenen Widerst¨anden ausprobieren, ob die Resultate konvergieren. G11 1.471mS Uq 12V G22 1/P t100 G21 10mS Gm 1.667mS Im =? G12 1.471mS 0 1 2 3 U10 U20 U30 Im Beispiel ist U10 = U q bereits bekannt und muss nicht berechnet werden. Matrizen auf- und umstellenZuerst werden die Matrizen in gewohnter Weise aufgestellt: [G] × [U] = [I] Die Zeile in [G] mit der idealen Spannungsquelle muss nicht weiter beachtet werden, weil diese Knoten-spannungen ja bekannt ist. Elektrotechnik Formelsammlung Seite 11

1 GLEICHSTROMKREISE         ... ... ... −G11 G m + G11 + G12 −Gm −G21 −G m G m + G21 + G22         ·         U q U20 U30         =         ... 00         Eigentlich ist die Matrix-Darstellung nur eine abgek ¨urzte Schreibweise f ¨ur ein lineares Glei-chungssystem. Damit die n¨achsten Schritte klar verst¨andlich sind, schreibe ich das Glei-chungssystem in der konventionellen Form auf: I : + ... · U q + ... · U20 + ... · U30 = ... II : − G11 · U q + (G m + G11 + G12) · U20 − G m · U30 = 0 III : − G21 · U q − G m · U20 + (G m + G21 + G22) · U30 = 0 Die Terme mit U q m ¨ussen vom Spannungsvektor [U], wo nur gesuchte Gr¨ossen vorkom- men d ¨urfen auf die andere Seite des Gleichungssystems verschoben werden (Vorzeichenbeachten!). I : + ... · U20 + ... · U30 = ... − ... · U q II : + (G m + G11 + G12) · U20 − G m · U30 = 0 + G11 · U q III : − G m · U20 + (G m + G21 + G22) · U30 = 0 + G21 · U q Wir lassen die Zeile mit der idealen Spannungsquelle (Knotenspannungen bekannt) wegund schreiben das Gleichungssystem wieder in der Matrix-Darstellung: + G m + G11 + G12 − G m − G m + G m + G21 + G22 · U20 U30 = G11 · U q G21 · U q Wir erhalten wieder eine symmetrische Matrix (Kontrolle), aber der Grad wurde um dieAnzahl idealer Spannungsquellen erniedrigt und im Stromvektor [I] erscheinen formal nun Str¨ome. Das Verschieben der Terme auf die linke Seite kann nat ¨urlich direkt in der Matrix-Schreibweise erfolgen. Das Umformen geschieht dabei nur gedanklich. Spannungsvektor[U] und Resultate berechnen Der weitere L¨osungsweg bis zu den Resultate geschieht genau gleich wie oben. U[] = U20 U30 = 6.3416.942 V Gesucht ist der Strom durch das Messinstrument.Spannung am Messinstrument: U m = U30 − U20 = 6.942V − 6.341V = 0.601V Strom durch das Messinstrument: I m = U m / R m = 0.61V/600W = 1.00mA Seite 12 Elektrotechnik Formelsammlung

2 ELEKTRISCHE FELDER 2 Elektrische Felder 2.1 Elektrisches Str¨omungsfeld S.55 Zeichen Beschreibung Einheit I El. Strom A J od. S El. Stromdichte A m 2 A Querschnittsfl¨ache m 2 E El. Feldst¨arke V m U El. Spannung V ϕ Potential V l Strecke (L¨ange des Feldes) m σ spezifische Leitf¨ahigkeit (spez. Leitwert) S m ρ spezifischer Widerstand Ω·mm 2 m R Widerstand V A = Ω G Leitwert A V = S EigenschaftenLeitendes MaterialI 0 ¨Aquipotentialfl¨achen rechtwinklig zu Feldlinien Feldlinien haben Anfang und Ende allgemein: J = dI dA I = A J · dA E = dU dl U 12 = 2 1 E · dl homogen: J = I A I = J · A E = U l U = E · l Kirchhoffsche Knotenregel: I = A J · dA = 0 I = I n Kirchhoffsche Maschenregel: U = l E · dl = 0 U = U n ϕ = l E · dl U = ∆ϕ Elektrotechnik Formelsammlung Seite 13

2 ELEKTRISCHE FELDER Materialeinfluss: J = σE E = ρJ Widerstand, Leitwert: R = 1 G = U I = ρ · l A = l σ · A Strom-Spannungs-Gleichung R = U I Leistung P = V E · J · dV P = U · I Seite 14 Elektrotechnik Formelsammlung

2 ELEKTRISCHE FELDER 2.2 Elektrostatisches Feld S.39 Zeichen Beschreibung Einheit Ψ od. Q El. Fluss (sich verschiebende Ladung) As = C D El. Flussdichte (Verschiebungsdichte, el. Erregung) As m 2 A Querschnittsfl¨ache m 2 E El. Feldst¨arke V m U El. Spannung V φ Potential V l Strecke (L¨ange des Feldes) m 0 Permittivit¨at im Vakuum 0 = 8.854 · 10 −12 As Vm As Vm r Permittivit¨at des Materials As Vm C Kapazit¨at As V = F EigenschaftenIsolator zwischen ElektrodenI = 0 ¨Aquipotentialfl¨achen rechtwinklig zu Feldlinien Feldlinien haben Anfang und Ende allgemein: D = dQ dA Q = A D · dA E = dU dl U 12 = 2 1 E · dl homogen: D = Q A Q = D · A E = U l U = E · l Gesetz von Gauss f ¨ur elektrostatisches Feld: Q = A D · dA Q = Q n Kirchhoffsche Maschenregel: U = l E · dl = 0 U = U n φ = l E · dl U = ∆φ Materialeinfluss: D = 0 r E Elektrotechnik Formelsammlung Seite 15

2 ELEKTRISCHE FELDER Kapazit¨at: C = dQdU C = QU C Plattenkondensator = · A l Strom-Spannungs-Gleichung: i = C · du dt Gespeicherte Energie: W = 12 V EDdV W = 12 · U · Q W = 12 · C · U 2 = 12 · Q 2 C Kr¨afte (gleichgerichtet wie Feldlinien): F = Q · E Seite 16 Elektrotechnik Formelsammlung

2 ELEKTRISCHE FELDER 2.3 Elektromagnetisches Feld S.66 Zeichen Beschreibung Einheit Φ Magnetischer Fluss Vs = Wb B Magnetische Flussdichte (magnetische Induktion) T = Vs m 2 A Querschnittsfl¨ache m 2 H Magnetische Feldst¨arke (magn. Erregung) A m V m Magnetische Spannung A Θ El. Durchflutung A l L¨ange der Feldlinie m µ 0 Permeabilit¨at im Vakuum (magn. Feldkonstante) µ 0 = 4π· 10 −7 Vs Am = 1.257 · 10 −6 Vs Am Vs Am µ r Relative Permeabilit¨at des Materials (F ¨ur Vakuum undLuft: 1) − µ Permeabilit¨at Vs Am R m Magnetischer Wiederstand A Vs Λ Magnetischer Leitwert Vs A L Induktivit¨at Vs A = H L 12 Induktivit¨at einer Ringspule mit zwei Wicklungen N 1 und N 2 Vs A = H N Anzahl Wicklungen einer Ringspule − u L Induktive Spannung V EigenschaftenMagnetfeld ohne StromFeldlinien sind in sich geschlossen allgemein: B = dΦdA Φ = A B · dA H = dΘ dl V m12 = 2 1 H · dl homogen: B = ΦA Φ = B · A H = Θ l = I · N l V m = H · l Gesetz von Gauss f ¨ur magnetisches Feld: Φ = A B · dA = 0 Maxwellsche Gleichung: Θ = l H · dl = A J · dA Θ = I n Θ = I · N = H · l Elektrotechnik Formelsammlung Seite 17

2 ELEKTRISCHE FELDER Materialeinfluss: B = µ 0 µ r H = µ · H Magnetischer Widerstand, Magnetischer Leitwert: R m = 1 Λ = Θ Φ = l µ · A Induktivit¨at: L = N · dΦ dI = N 2 · dΦdΘ = N 2 · Λ L Ringspule = N 2 · µ · A l Gegeninduktivit¨at: L 12Ringspule = N 1 · N 2 · µ · A l Spulen- oder Verkettungsfluss: N · Φ = L · I ¨Ubersetzungsverh¨altnis: ¨u = N 1 N 2 Strom-Spannungs-Gleichung (Induktive Spannung) u L = L · didt u 2 = L 12 · di 1 dt Induktionsgesetz von Faraday: U i = − dΦ dt = −N · dΦ dt U i = l E · dl = − l (v × B) · dl Gespeicherte Energie: W = 12 V HBdV W = 12 · Θ · Φ W = 12 · L · I 2 Seite 18 Elektrotechnik Formelsammlung

2 ELEKTRISCHE FELDER 2.3.1 Beispiel Spule mit LuftspaltGeg. Φ, l E , l L , A, N B E = B L = ΦA H E aus Kurve f (B) H L = B µ 0 Θ = I · N = H E · l E + H L · l L I = H E · l E + H L · l L N Geg. µ r , A, N I = B µ 0 · N 2π · r µ r + l L Elektrotechnik Formelsammlung Seite 19

2 ELEKTRISCHE FELDER 2.3.2 Die Beschreibung des elektromagnetischen Feldes Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt ein Magnetfeld. Ursache daf ¨ur ist die Bewegung vonelektrischen Ladungen. Auf eine Magnetnadel oder Eisen-Sp¨ane wird von diesem Magnet-feld eine Kraft ausge ¨ubt. Es handelt sich also um ein Vektorfeld. Die magnetischen Feldliniengeben, wie die elektrischen Feldlinien, in jedem Punkt die Richtung der Kraft an. II Die magnetische Feldst¨arke H F ¨ur die Ringspule gilt: H = n·I l m mit l m = π · d m (mittlererFeldlinienl ¨ange) Einheit von H: A/cm oder A/m. Der Zusammenhang zwischen elektrischem Strom und dem entstehenden Magnetfeld wirdallgemein mit dem Durchflutungssatz beschrieben.Die magnetische Flussdichte B Es gilt allgemein B = µ r · µ 0 · H f ¨ur die Ringspule ist B = µ r · µ 0 · n·I l m Dabei ist µ r die relative Permeabilit¨at und µ 0 = 12, 56 · 10 −9 Vs/(Acm) die absolute Permeabilit¨at. Einheit von B: Vs/cm 2 oder Vs/m 2 = T(Tesla) H¨aufig schreibt man auch µ wobei µ = µ r · µ 0 gilt. Der magnetische Fluss φ F ¨ur die Ringspule gilt: φ = B · ABei Verwendung dieser Gleichung muss der Vektor der magnetischen Flussdichte Bsenkrecht auf der wirksamen Fl¨ache A stehen und ¨uber der ganzen Fl¨ache einen konstanten Wert haben.Ansonsten muss man ¨uber Integral rechnen.Einheit von φ: Vs= 1Wb (Weber)Die Durchflutung Θ Die Durchflutung bezeichnet man mit Θ = n · I mit der Einheit A und meint damit die elektrische Erregung des magnetischen Feldes. Seite 20 Elektrotechnik Formelsammlung

2 ELEKTRISCHE FELDER e.g. - Durchflutungsgesetz Dies ist ein Beispiel in dem das magnetische Feld durch die Luft und durch Eisen geht.Dieses Problem kann mit dem Durchflutungsgesetz gel¨ost werden. Bei der Aufl¨osung nachder gesuchten Variable ergibt sich eine Geradengleichung, diese Gerade kann direkt in dieMagnetisierungskennlinie eingetragen werden und somit wird der gesuchte Arbeitspunktersichtlich.Durchflutungsgesetz (Feldlinien durch Eisen und Luft): Θ = I · N = H Eisen · l Eisen + H Lu f t · l Lu f t = H Eisen · l Eisen + B Lu f t µ 0 · l Lu f t B Lu f t = −µ 0 · l Eisen l Lu f t m−Steigung · H Eisen x−Variable + µ 0 · 1 l Lu f t · I · N q−Achsenabschnitt (Gerade: B Lu f t = f (H Eisen )) PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt(Schnittpunkt derGeraden mit Kennlinie) Bemerkung: Maximale Permeabilit¨at bei steilster Tangente durch Nullpunkt. Elektrotechnik Formelsammlung Seite 21

2 ELEKTRISCHE FELDER 2.3.3 Hall-Effekt Der Hall-Effekt erlaubt es, das Ladungsvorzeichen zu bestimmen und er bietet eine einfacheM¨oglichkeit, die St¨arke eines Magnetfeldes zu messen.Betrachtet man einen Leiter- oder Halbleiterstreifen mit der L¨ange l und der Breite b, durch den ein Strom I fliesst. In einem homogenen Magnetfeld senkrecht zur Oberfl¨ache des Strei- fens werden die Ladungstr¨ager aus ihrer Flussrichtung abgelenkt gem¨ass der Lorentz-Kraft.Der Hall-Effekt erlaubt es, das Ladungsvorzeichen zu bestimmen und er bietet eine einfacheM¨oglichkeit, die St¨arke eines Magnetfeldes zu messen. Betrachtet wird ein Leiter- oder Halbleiterstreifen mit der L¨ange l und der Breite b, durch den ein Strom I fliesst. In einem homogenen Magnetfeld senkrecht zur Oberfl¨ache des Streifens werden die Ladungstr¨ager aus ihrer Flussrichtung abgelenkt gem¨ass der Lorentz-Kraft. F L = Q · (v × B) Das bedeutet f ¨ur den Fall, der in der Grafik dargestellt ist, dass die Ladungen auf die linkesSeite wandern werden, unabh¨angig von ihrem Ladungsvorzeichen. Wenn die Ladungstr¨agerpositiv sind, wird die linke Seite positiver als die rechtes Seite und es bildet sich zwischenlinks und rechts eine Potentialdifferenz.U H = φ( links) − φ(rechts)   0 F ¨ur negative Ladungstr¨ager dagegen ergibt sichU H = φ( links)−φ(rechts)   0 Das bedeutet f¨ur den Fall, der in der Grafik dargestellt ist, dass die Ladungen auf die linke Seite wandern werden, unabh¨angig von ihrem Ladungsvorzeichen.Wenn die Ladungstr¨ager positiv sind, wird die linke Seite positiver als die rechte Seite undes bildet sich zwischen links und rechts eine Potentialdifferenz. Der Wert der Hall-Spannung U H ergibt sich aus dem Gleichgewicht der elektrischen Kr¨afte F C = Q · E H und der magnetischen Kr¨afte F L . E H + v × B = 0 Herleitung der Hallspannung:F = Q · v · B = Q · B · 1 b·d·n·l F = Q · E = Q · U b v = I A·n·e = I A·ρ C ρ C dies ist die Ladungstr¨agerdichte, sie kann mit Hilfe der Beziehung µ = 1 ρ Ω ·ρ C ermittelt werden. Dabei ist ρ Ω der spezifische Widerstand des Materials. Die Hallkonstante R H besteht aus folgender Beziehung: R H = − 1 ρ C . Somit l¨asst sich jetzt die Hall-Spannung (resp. Hall-Effekt) berechnen:U H = −B · I · 1 d·ρ C F ¨ur negative Ladungstr¨ager dagegen ergibt sich U H = φ( links) − φ(rechts)   0 Seite 22 Elektrotechnik Formelsammlung

2 ELEKTRISCHE FELDER PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Elektrotechnik Formelsammlung Seite 23

2 ELEKTRISCHE FELDER 2.3.4 Transformator Zeichen Beschreibung Einheit k Kopplungsfaktor k ≤ 1 (µ Fe = 0.9, µ Lu f t 1) − ¨u ¨Ubersetzungsverh¨altnis − U 1 U 2 N 1 N 2 i 1 i 2 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Durchflutungsgesetz I 1 · N 1 = H 1 · l 1 Φ 1 = B 1 · A 1 B 1 = µ · H 1 H 1 = I 1 · N 1 l 1 Spule 1: u 1 = N 1 · dΦ 1 dt = N 1 · A 1 · dB 1 dt = N 1 · A 1 · µ · dH 1 dt = N 1 · A 1 · µ · N 1 l 1 (Induktivit¨at L 1 ) · di 1 dt Spule 2: u 2 = N 2 · k · dΦ 1 dt = N 2 · k · A 1 · µ · N 1 l 1 (Gegenind. L 21 = L 12 ) · di 1 dt Transformator Gleichungen U 1 = L 1 · di 1 dt Selbstinduktion + L 12 · di 2 dt Gegeninduktion U 2 = L 2 · di 2 dt Selbstinduktion + L 21 · di 1 dt Gegeninduktion Seite 24 Elektrotechnik Formelsammlung

2 ELEKTRISCHE FELDER ¨Ubersetzungsverh¨altnis F ¨ur k = 1 (Fe-Kern) gilt: ¨u = U 1 U 2 = L 1 L 21 = N 1 N 2 = L 12 L 2 = L 1 L 2 − 1 ¨u = i 1 i 2 Leistung P 1 = u 1 · i 1 P 2 = u 2 · i 2 P 1 P2 = u 1 · i 1 u 2 · i 2 = ¨u · − 1 ¨u = −1 2.3.5 Kr¨afte im elektromagnetischen Feld PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) B F l Abbildung 5: Kraft im Magnetfeld Zeichen Beschreibung Einheit l L¨ange des Drahts. Richtung ist Richtung des Stromflusses. m F Kraft, die auf den Draht wirkt. N F = I · (l × B) F = Q · (v × B) Elektrotechnik Formelsammlung Seite 25

2 ELEKTRISCHE FELDER 2.4 Induktion S.?? Zeichen Beschreibung Einheit F Kraft entgegen der Verschiebung N s Strecke der Verschiebung m l L¨ange des Drahtteils im Magnetfeld m Bewegen eines Drahtes im Magnetfeld: F = B · I · sF = B · Q t · s F = B · Q · s t F = B · Q · vF = Q · (v × B) Induzierte Spannung: U = E · l = B · v · l Seite 26 Elektrotechnik Formelsammlung

3 SCHALTVORG ¨ANGE 3 Schaltvorg¨ange 3.1 RC - Glied PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) R U q C u(t) i(t) Abbildung 6: Schaltvorgang RC Zeichen Beschreibung Einheit i C Strom am Kondensator A u C Spannung am Kondensator V U ∞ Spannung am Kondensator nach unendlich lan-ger Zeit V U 0 Spannung am Kondensator zur Zeit 0 V C Kapazit¨at des Kondensators F G Leitwert des dem Kondensator vorgeschalteten Widerstandes S τ Zeitkonstante: τ = R · C s EigenschaftenStrom ist proportional zur Spannungs¨anderung.Spannung an einem Kondensator kann nicht sprunghaft ¨andern.Bei t = τ ist 63% (= 1 − e −1 ) des Endwerts erreicht. Bei t = 5τ ist 99% (= 1 − e −5 ) des Endwerts erreicht. Tangenten schneiden den Endwert nach der Zeit τ.Der Kondensator verh¨alt sich kurze Zeit nach dem Einschalten wie ein Kurzschluss, unend-liche Zeit nach dem Einschalten wie eine Unterbrechung. Kapazit¨atsgleichung: i C = C · du C dt u C = U ∞ − (U ∞ − U 0 ) · e − t τ i C = (U ∞ − U 0 ) · G · e − t τ τ = C G = R · C Elektrotechnik Formelsammlung Seite 27

3 SCHALTVORG ¨ANGE U ∞ = u C (∞) · U 0 = u C (0) Seite 28 Elektrotechnik Formelsammlung

3 SCHALTVORG ¨ANGE 3.1.1 Beispiel 1 Formelzeichen Zeichen Beschreibung Einheit R Widerstand Ω C Kapazit¨at F (Farad) U q Spannungsquelle V τ Zeitkonstante: τ = R · C s RC-SchaltungGesucht: Kurvenverlauf von u und i, i(100µs) Gegeben: u(t   0) = 0 (Kondensator ist entladen), R = 4700Ω, C = 10nF, U q = 5V Kurvenverlauf von u(t) und i(t): PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) u i U q U q R τ Abbildung 7: Schaltungsverlauf Berechnung von u(t) und i(t): Satz: Nach einem τ ist u = 63% τ = R · C = 4700Ω · 10nF = 47µs u(t) = U ∞ − (U ∞ − U 0 ) · e − t τ u(100µs) = 5V − (5V − 0V) · e − 100µs 47µs = 4.4V i(t) = (U ∞ − U 0 ) · G · e − t τ i(100µs) = (5V − 0V) · 1 4700Ω · e − 100µs 47µs = 127µA Elektrotechnik Formelsammlung Seite 29

3 SCHALTVORG ¨ANGE 3.1.2 Beispiel 2 Kondensator am Anfang geladen [ u(t   0) = 15V] PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) u i U q U u r R τ Abbildung 8: Schaltungsverlauf bei geladenem Kondensator u(t   0) = 15V t = 0 : u r = 5V − 15V = −10V u(t) = 5V − (5V − 15V) · e − t 47µs =⇒ u(30µs) = 10.28V i(t) = (5V − 15V) · 1 4700Ω · e − t 47µs =⇒ i(30µs) = −1.1mA Seite 30 Elektrotechnik Formelsammlung

3 SCHALTVORG ¨ANGE 3.2 RL-Glied Zeichen Beschreibung Einheit i L Strom an der Spule A u L Spannung an der Spule V I ∞ Strom an der Spule nach unendlich langer Zeit V I 0 Strom an der Spule zur Zeit 0 V L Induktivit¨at der Spule Vs A = H R Widerstand des der Spule vorgeschalteten Wi- derstandes Ω τ Zeitkonstante: τ = L R s EigenschaftenSpannung ist proportional zur Strom¨anderung.Strom an einer Spule kann nicht sprunghaft ¨andern.Bei t = τ ist 63% (= 1 − e −1 ) des Endwerts erreicht. Bei t = 5τ ist 99% (= 1 − e −5 ) des Endwerts erreicht. Tangenten schneiden den Endwert nach der Zeit τ. Induktivit¨atsgleichung: u L = L · di L dt i L = I ∞ − (I ∞ − I 0 ) · e − t τ u L = (I ∞ − I 0 ) · R · e − t τ τ = L R = G · L I ∞ = i L (∞) · I 0 = i L (0) Elektrotechnik Formelsammlung Seite 31

4 NICHTLINEARE KENNLINIEN 4 Nichtlineare Kennlinien 4.1 Vorgehensweisen 1. Korrekt rechnen mit e-Funktion oder ln oder Polynomen (genau aber aufw¨andig) 2. Graphisch (anschaulich aber ungenau) 3. Linearisierung im Arbeitspunkt 4.2 Linearisierung 1. Arbeitspunkt absch¨atzen und Tangente flzeichnenfi 2. Geradengleichung, lineare Ersatzquelle 3. Plausibilit¨atskontrolle 4. Iteration Seite 32 Elektrotechnik Formelsammlung

4 NICHTLINEARE KENNLINIEN 4.2.1 Beispiel: Ladung eines Akkus Zeichen Beschreibung Einheit I L Strom am Ladeger¨at A U L Spannung am Ladeger¨at V R L Innenwiderstand des Ladeger¨ats Ω U d Spannung an der Diode (R ¨uckstromschutz) V I A Strom am Akku A U A Spannung des Akkus V R A Innenwiderstand des Akkus Ω U A2 Spannung ¨uber Akku V Ladeger ä t Akku PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 9: Ladung eines Akkus: Prinzipschema I L R L R A U L U A2 I A U A U D PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 10: Ladung eines Akkus: Schaltplan I L Ladegerät Diode Akku U A U I Akku &Ladegerät Arbeits−punkt Steigung: R L S te ig u n g :  R A PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 11: Ladung eines Akkus: Diagramm F ¨ur die Akku & Ladeger¨at Kurve werden der Strom beibehalten und die Spannungen U L und U A addiert. Elektrotechnik Formelsammlung Seite 33

5 WECHSELSTROM 5 Wechselstrom S.105 5.1 Allgemein Zeichen Beschreibung Einheit T Periodendauer s f Frequenz 1 s = Hz ω Winkelfrequenz 1 s = s −1 n Periode (Nummer) − u(t) zeitabh¨angige physikalisch reale Spannung V u(t) komplexe zeitabh¨angige Spannung V ˆu Amplitude V ˆu komplexe Amplitude V u Arithmetischer Mittelwert V |u| Gleichrichtwert V U komplexer Effektivwert V U Effektivwert (gleiche Wirkleistung wie bei Gleichstrom) V f = 1 T u(t) = u(t + n · T) u(t) = ˆu · sin(ωt + ϕ n ) u = 0 (per Definition) u = 1 T T 0 u(t)dt (allgemein) |u| = 1 T T 0 |u|dt U = 1 T · T 0 u 2 dt f = ω 2π Seite 34 Elektrotechnik Formelsammlung

5 WECHSELSTROM 5.2 Spezialf¨alle S.121 Name Formel Sinus Dreieck Rechteck Gleichricht |u| = 1 T · T 0 |u|dt ˆu · 2 π ˆu · 1 2 ˆu Mittel u = 1 T · T 0 udt Effektiv U = 1 T · T 0 u 2 dt ˆu · 1 √ 2 ˆu · 1 √ 3 ˆu Formfaktor F = u e f f |u| 1.111 1.155 1 Scheitelfaktor δ = ˆu u e f f √ 2 √ 3 1 • Hinweis: Messger ¨ ate (z.B. Oszilloskop) messen meistens den Gleichrichtwert und zei- gen den Effektivwert an → Formfaktor Elektrotechnik Formelsammlung Seite 35

5 WECHSELSTROM 5.3 Komplexe Spannung U = Ue jϕ n = U∠ϕ n F ¨ur Sinus: U = U · sin(ωt + ϕ) Physikalisch reelle Spannung: u(t) = ˆu · sin(ωt + ϕ n ) Vollst¨andig komplexe Spannung: u(t) = ˆu · cos(ωt + ϕ n ) + j · sin(ωt + ϕ n ) u(t) = ˆu · e j(ωt+ϕ n ) Widerstand Induktivit¨at (Spule) Kapazit¨at (Kondensator) u voreilend i voreilend i = u R u = L · di dt i = C · du dt u = ˆu · sin(ωt) i = ˆı · sin(ωt) u = ˆu · sin(ωt) i = ˆu R · sin(ωt) u = L · ˆı · ω · cos(ωt) i = ˆu · C · ω · cos(ωt) ˆu ˆı = R ˆu ˆı = L · ω ˆu ˆı = I C·ω ϕ = 0 ϕ = 90 o = π 2 ϕ = −90 o = − π 2 U = ˆu √ 2 = ˆu √ 2 · e jωt  0 I = ˆı √ 2 · e jωt U = ˆu √ 2 · e jωt I = u R = ˆu·e jωt √ 2·R U = L · dI dt = L · ˆı √ 2 · jω · e jωt I = C · ˆu √ 2 · jω · e jωt U I = R U I = jωL U I = 1 jωC = −j ω C PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) U I PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) U I PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) U I 5.4 Kompensation Vereinfachte Formel f ¨ur die Berechnung eines Kompensationskondensators. C = P · (tan φ 1 − tan φ 2 ) 2 · π · f · U 2 Seite 36 Elektrotechnik Formelsammlung

5 WECHSELSTROM 5.5 Komplexer Widerstand und Leitwert S.123,126 Zeichen Beschreibung Einheit Z Scheinwiderstand (Impedanz) Ω R Wirkwiderstand (Resistanz) Ω X Blindwiderstand (Reaktanz) Ω Y Scheinleitwert (Admitanz) S G Wirkleitwert (Konduktanz) S B Blindleitwert (Suszeptanz) S Serie-Schaltungen Parallel-Schaltungen Formeln Z = R + jX = Z∠ϕ Y = G + jB = Y∠ϕ Ohmsches Gesetz Z = U I = 1 Y Y = I U = 1 Z Widerstand Z = R Y = G Induktivit¨at Z = jωL Y = 1 jωL Kapazit¨at Z = 1 jωC Y = jωC Serie-Schaltungen Z e = Z n = R n + j X n Parallel-Schaltungen Y e = Y n = G n + j B n Elektrotechnik Formelsammlung Seite 37

5 WECHSELSTROM 5.6 Komplexe Leistung S.162 Zeichen Beschreibung Einheit S Scheinleistung W P Wirkleistung W X Blindleistung W I ∗ Konjugiert Komplexe von I A Formeln S = P + jQ = S∠ϕ Ohmsches Gesetz S = U · I ∗ = Z · I 2 = Y ∗ · U 2 Widerstand S = R · I 2 = G · U 2 Induktivit¨at S = jωL · I 2 = j ω L · U 2 Kapazit¨at S = −jωC · U 2 = − j ω C · I 2 Serie-Schaltungen S = Z · I 2 = P n + j Q n Parallel-Schaltungen S = Y ∗ · U 2 = P n + j Q n P jQ induktiv kapazitiv L e is tu n g s a b g a b e (Q u e lle ) L e is tu n g s a u fn a h m e (V e rb ra u c h e r) PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 12: Komplexe Leistung Seite 38 Elektrotechnik Formelsammlung

5 WECHSELSTROM 5.7 Wechselstromleistung S.164 Parallel Ersatzschaltung Reihen Ersatzschaltung Schaltbild PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) U I w I b B G PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) R I U w U b X komplexer Widerstand Z = R + jX komplexer Leitwert Y = G + jB Scheinwiderstand Z = √ R 2 + X 2 Scheinleitwert Y = √ G 2 + B 2 Wirkwiderstand R = Z cos ϕ = U w I Wirkleitwert G = Y cos ϕ Y = I w U Blindwiderstand X = Z sin ϕ = U b I Blindleitwert B = −Y sin ϕ Y = −I b U komplexe Leistung S = Y ∗ · U 2 = (G − jB)U 2 S = ZI 2 = (R + jX)I 2 Wirkleistung P = I w U = I 2 w G = U 2 G P = U w I = U 2 w R = I 2 R Blindleistung Q = −I b U = − I 2 b B = −U 2 B Q = U b I = U 2 b X = I 2 X Scheinleistung S = UI = U I 2 w + I 2 b S = UI = I U 2 w + U 2 b Wirkfaktor cos ϕ = G Y cos ϕ = R Z Blindfaktor sin ϕ = B Y sin ϕ = X Z Wirkstrom I w = I cos ϕ Y = GU Wirkspannung U w = U cos ϕ = RI Blindstrom I b = −I sin ϕ Y = −BU Blindspannung U b = U sin ϕ = XI Elektrotechnik Formelsammlung Seite 39

6 FILTER, ¨UBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6 Filter, ¨Ubertragungsfunktion und Bodediagramm S.203, 281 6.1 Bodediagramm Zeichen Beschreibung Einheit G ¨Ubertragungsfunktion − A(ω) ¨Ubertragungsfunktion in dB dB ω Kreisfrequenz 1 s ω g Grenzkreisfrequenz (ω bei G = 1 √ 2 = −3dB) 1 s Ω = ω ω g − G Amplitudengang − ϕ G Phasengang (Winkel der Komplexen Zahl G) − Q G ¨ute, G ¨utefaktor − D D¨ampfungsfaktor − G = U a U e A(ω) = 20 log 10 (|G|) ω g = 1τ Ω = ω ω g = f f g D = 1 Q Seite 40 Elektrotechnik Formelsammlung

6 FILTER, ¨UBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6.2 RC - Tiefpassfilter PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) U a C U e R Abbildung 13: RC-Tiefpassfilter −20dB −40dB −60dB 0dB −3dB 1 10 100 1000 0.1 0.01 0.001 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) G Ω Abbildung 14: Amplitudengang PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie)0 o 45 o 90 o 1 Abbildung 15: Phasengang U a = U e 1 jωC R + 1 jωC = U e 1 1 + jωRC G = U a U e = 1 1 + jωRC ω g = 1 RC = 1τ ω ω g = f f g = Ω G = 1 1 + j ω ω g = 1 1 + jΩ G = 1 1 + ( ω ω g ) 2 ϕ G = − arctan ω ω g Elektrotechnik Formelsammlung Seite 41

6 FILTER, ¨UBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6.3 RC - Hochpassfilter PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) U a C U e R Abbildung 16: RC-Hochpassfilter −20dB −40dB −60dB 0dB 1 10 100 1000 0.1 0.01 0.001 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) G Ω Abbildung 17: Amplitudengang PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) 0 o 45 o 90 o 1 Abbildung 18: Phasengang G = R R + 1 jωC = jωRC jωRC + 1 G = jω ω g 1 + jω ω g = jΩ 1 + jΩ G = 1 1 + 1 ω ω g 2 ϕ G = arctan       1 ω ω g       Seite 42 Elektrotechnik Formelsammlung

6 FILTER, ¨UBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6.4 RLC - Tiefpassfilter S.361 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) U a C U e R L Abbildung 19: RLC-Tiefpassfilter −20dB −40dB −60dB 0dB 1 10 100 1000 0.1 0.01 0.001 Q=1 Q=10 Q=0.5 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) G Ω −40dB decade Abbildung 20: Amplitudengang PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie)0 o −90 o −180 o 1 Abbildung 21: Phasengang G = 1 jωC R + jωL + 1 jωC = 1 jωRC − ω 2 LC + 1 = 1 1 + j Q Ω − Ω 2 ω g = 1 √ LC Q = U a U e (bei ω g ) = ω g L R = 1 ω g CR Elektrotechnik Formelsammlung Seite 43

6 FILTER, ¨UBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6.5 RLC - Hochpassfilter PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) U a C U e R L Abbildung 22: RLC-Hochpassfilter −20dB −40dB −60dB 0dB 1 10 100 1000 0.1 0.01 0.001 Q=1 Q=10 Q=0.5 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) G Ω Abbildung 23: Amplitudengang PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie)180 o 90 o 0 o 1 Abbildung 24: Phasengang G = jωL R + jωL + 1 jωC = −Ω 2 1 + j 1 Q Ω − Ω 2 Seite 44 Elektrotechnik Formelsammlung

6 FILTER, ¨UBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6.5.1 Doppel-T-Filter Berechnung der ¨Ubertragungsfunktion mit Knotenpotentialverfahren: U e U a R R R/2 C C 2C PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 25: Doppel-T-Filter 6.6 Umwandlung der Schaltung U e R C U e R C U e Y G I 1 I 2 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 26: Umwandlung der Quelle I 1 = U e R G = 1 R I 2 = U e · Y = U e · jωC Y = jωC Y G I 1 I 2 U a G 2G C 2C 1   2  3  0   PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 27: Knoten Elektrotechnik Formelsammlung Seite 45

6 FILTER, ¨UBERTRAGUNGSFUNKTION UND BODEDIAGRAMM 6.6.1 Berechnung der ¨Ubertragungsfunktion [Y] · [U] = [I]         2G + 2jωC 0 −G 0 2G + 2jωC −jωC −G −jωC G + jωC         ·         U 10 U 20 U 30         =         U e · G U e · jωC 0         [U] =         U 10 U 20 U 30         =             jU e (−j+ωRC) −4jωCR+ω 2 C 2 R 2 −1 ω CU e R(−j+ωRC) −4jωCR+ω 2 C 2 R 2 −1 U e (ω 2 C 2 R 2 −1) −4jωCR+ω 2 C 2 R 2 −1             G = U a U e = U 30 U e = ω 2 C 2 R 2 − 1 −4jωCR + ω 2 C 2 R 2 − 1 = 1 − ω 2 R 2 C 2 1 − ω 2 R 2 C 2 + 4jωCR Bemerkung: Tiefe und hohe Frequenzen werden durchgelassen (1:1). Bestimmter Bereich f ¨ur 1 − ω 2 R 2 C 2 = 0 wird herausgefiltert. Seite 46 Elektrotechnik Formelsammlung

7 OPERATIONSVERST ¨ARKER 7 Operationsverst¨arker + − 0A   0A   0V   PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 28: Operationsverst¨arker Das Schaltbild in Abbildung 30 ist der Schl ¨ussel f ¨ur die meisten Schaltungen mit Operati-onsverst¨arkern.Ausnahmen: Schmidt-Trigger, Schwingungen, Oszillatoren 7.1 Beispiel 1 (Mit Widerst¨anden: Nicht invertierender Verst¨arker) + − 0A   0A   0V   U  a U  e Z  1 Z  2 U  Z1 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 29: Beispiel einer Operationsverst¨arkerschaltung U e = U Z1 U Z1 = U a · Z 1 Z 1 + Z 2 U e = U a · Z 1 Z 1 + Z 2 G = U a U e = Z 1 + Z 2 Z 1 = 1 + Z 2 Z 1 Elektrotechnik Formelsammlung Seite 47

7 OPERATIONSVERST ¨ARKER 7.2 Beispiel 2 (Mit Widerst¨anden: Invertierender Verst¨arker) + − 0A   0A   0V   U  a U  e Z  2 U  Z1 Z  1 I I U  Z2 PSfrag replacements H = 0 ⇒ B = µ 0 · 1 l · I · N B = 0 ⇒ H · B = I·N l Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Geraden mit Kennlinie) Abbildung 30: Beispiel einer Operationsverst¨arkerschaltung U Z1 = U e U Z2 = −U a I = U e Z 1 I = −U a Z 2 U e Z 1 = − U a Z 2 G = U a U e = − Z 2 Z 1 Seite 48 Elektrotechnik Formelsammlung

8 MESSTECHNIK 8 Messtechnik 8.1 Messfehler 8.1.1 Zuf¨allig Jedesmal anders, nicht ohne Aufwand korrigierbar • Reibung des Zeigers • Toleranzen von Widerst ¨ anden • Temperatureinfl ¨ usse • St ¨ orungen eingekoppelt Analoges Messger¨at:Genauigkeitsklasse k: ±k% vom Messbereich (Vollausschlag)Digitales Messger¨at ±(0.25% + 1D) 0.25% Abweichung vom Messwert und ± 1 f ¨ur die letzte angezeigte Ziffer 8.1.2 Berechnen der Messfehler Bei der Multiplikation addieren sich die relativen Messfehler. δ U R = δ R + δI Bei der Addition verwendet man das geometrische Mittel. ∆ U NG = ∆ U 2 R + ∆ U 2 A 8.1.3 Systematisch Messger¨at ver¨andert Schaltung, jedesmal gleich, korrigierbar.- Stromfehlerschaltung- SpannungsfehlerschaltungBeachte: Wenn der systematische Fehler kleiner als die Toleranz des Messger¨ates ist, muss er nichtber ¨ucksichtigt werden! Elektrotechnik Formelsammlung Seite 49